Cosinusrelationerne illustrerer forbindelsen mellem en trekants vinkler og dens sider. Der eksisterer tre distinkte cosinusrelationer, som alle bygger på det samme grundlæggende bevis. Vi vil fokusere på at demonstrere den øverste relation, hvor vinklen A er en spids vinkel.

Bevis for Cosinusrelationen med en spids vinkel. Vi begynder med et bevis, hvor vinklen A er spids. Vi starter med at konstruere en vilkårlig trekant ABC, hvor vinklen A er spids. Derefter tegner vi trekantens højde, h, ud fra punktet B. Denne højde deler linjestykket ǀACǀ i to segmenter, som vi betegner x og b - x. Ved at tilføje højden h opdeler vi samtidig den vilkårlige trekant ABC i to retvinklede trekanter.

Opret en gratis profil i dag og forbedr dine matematiske færdigheder! Vi stræber efter at eliminere behovet for x, da dette segment ikke er relevant for vores nuværende trekant. Vi undersøger igen den lille retvinklede trekant. Cosinus af en vinkel i en retvinklet trekant er lig med forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen. Dette kan udtrykkes matematisk som: cos(vinkel) = katete / hypotenus.

Vi isolerer nu x i dette udtryk. Dette udtryk for x kan vi derefter indsætte i udtrykket for a². Vi har nu dermed bevist cosinusrelationen, når vinklen A er spids. Bevis for Cosinusrelationen med en stump vinkel. Det næste skridt er at gennemgå beviset, når vinklen A er stump. Vi starter med at konstruere en vilkårlig trekant ABC, hvor vinklen A er stump. Derefter indtegner vi igen trekantens højde, h, ud fra punktet B.

Desuden forlænger vi linjestykket b, således at det punkt, hvor højden rammer b, betegnes som D. Vi har nu to retvinklede trekanter: en stor og en lille. Den lille retvinklede trekant har kateterne h og x samt hypotenusen c. Vil du udforske yderligere opgaver, der involverer brugen af cosinusrelationerne? Vi er Danmarks førende matematiktræner og har modtaget topkarakterer på Trustpilot!

Vi kan ikke anvende den samme metode som før, da vi nu har at gøre med en stump vinkel. Et stigende antal studerende vælger os, fordi de opnår forbedrede karakterer til deres matematikeksamener - start i dag! Se den vedlagte figur. Figuren illustrerer to vinkler, nemlig vinklen A og vinklen - A. Disse to vinkler er symmetriske omkring y-aksen, hvilket betyder, at cosinus af begge vinkler giver det samme resultat, men med modsat fortegn.

Derfor gælder det, at vi kan anvende følgende relation: cos(vinkel) = -cos(modsat fortegn). Vi benytter nu denne relation, men skal blot ændre fortegnet, hvilket resulterer i: cos(vinkel) = -cos(modsat fortegn). Vi kan nu isolere x, og indsætte udtrykket for x i udtrykket for a². Ved indsættelse opnår vi: Vi har nu bevist cosinusrelationen, når vinklen A er stump.